Analyse : Dérivation et applications - STI2D/STL

Sens de variation

Exercice 1 : Étude détaillée d'un polynôme de degré 3 (version simplifiée)

Soit \(f\) une fonction définie pour tout nombre réel \(x\) de l'intervalle \(\left[-8; 3\right]\) par : \[f: x \mapsto -3x^{3} -18x^{2} + 45x -79\] On notera \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\).Déterminer pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left[-8; 3\right]\), l'expression de \(f'(x)\).

Parmi les expressions ci-dessous, laquelle correspond à \(f'(x)\) pour tout \(x\) de l'intervalle \(\left[-8; 3\right]\) ?

Étudier le signe de \(f'\) pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left[-8; 3\right]\).

En déduire le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(\left[-8; 3\right]\).

Essais restants : 2

Exercice 2 : Retrouver le graphe de la fonction depuis le graphe de la dérivée

Parmi les paires de courbes suivantes, dans quelle(s) situation(s) la courbe de droite peut-elle représenter la dérivée de la fonction représentée par la courbe de gauche ?

A.f'(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((1 + x) <= -7))?(-2):(((((1 + x) <= 0.0))?(0.00583090379008746*Math.pow(1 + x, 3) + 1.30612244897959*Math.pow(1 + 0.125*x, 2)*(1 + x) + 0.0204081632653061*Math.pow(1 + x, 2)*(-6.85714285714286 - 0.857142857142857*x)):(((((1 + x) <= 7.0))?(0.00874635568513119*Math.pow(1 + x, 3) + 0.183673469387755*Math.pow(1 + x, 2)*(0.857142857142857 - 0.142857142857143*x) + 0.73469387755102*Math.pow(1 - 0.166666666666667*x, 2)*(1 + x)):(3))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -4.91666666666667 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= 0.0))?(2.91666666666667 + 0.0021865889212828*Math.pow(x, 4) + 0.054421768707483*Math.pow(x, 3) + 0.5*Math.pow(x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(2.91666666666667 + 0.000728862973760932*Math.pow(x, 4) + 0.5*Math.pow(x, 2) - 0.0340136054421769*Math.pow(x, 3)):(-3.5 + 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
B.f'(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-2, 2]], "scale": [30.0, 50.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= -3.0))?(-1.265625*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.5625*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 2)*(-15.75 - 2.25*x) - 12.25*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.75 - 0.25*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.027*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 3) + 0.27*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 2)*(0.7 - 0.1*x) + 0.49*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(3.0 + 1.0*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -18.6666666666667 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= -3.0))?(16.9713541666667 + 1.59375*x - 0.109375*Math.pow(x, 2) - 0.00781250000000001*Math.pow(x, 4) - 0.114583333333333*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(16.7986666666667 + 1.686*x + 0.002*Math.pow(x, 4) + 0.0979999999999999*Math.pow(x, 2) - 0.0326666666666667*Math.pow(x, 3)):(20.0 + x))))));}", [-5, 5]]]}
C.f'(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= 3.0))?(-0.0809999999999999*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 3) + 4.9*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.3 - 0.1*x) + 0.09*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 2)*(-6.3 - 0.9*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.84375*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 3) + 3.375*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 2)*(1.75 - 0.25*x) + 3.0625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(3.0 - 1.0*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-8, 8]], "scale": [30.0, 12.5], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -19.3333333333333 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= 3.0))?(12.1193333333333 + 0.154*Math.pow(x, 2) + 0.822*x - 0.0486666666666667*Math.pow(x, 3) - 0.004*Math.pow(x, 4)):(((((x) <= 7.0))?(-0.572916666666668 + 14.25*x + 0.666666666666667*Math.pow(x, 3) - 0.03125*Math.pow(x, 4) - 4.8125*Math.pow(x, 2)):(3.0 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
D.f'(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((-1 + x) <= -7))?(2):(((((-1 + x) <= -3.0))?(0.25*Math.pow(-1 - 0.5*x, 3) + 0.25*Math.pow(-1 - 0.5*x, 2)*(9.0 + 1.5*x) - 36.0*Math.pow(1 + 0.166666666666667*x, 2)*(-0.5 - 0.25*x)):(((((-1 + x) <= 7.0))?(-0.024*Math.pow(1 + 0.5*x, 3) + 0.64*Math.pow(1 - 0.125*x, 2)*(8.0 + 4.0*x) - 0.36*Math.pow(1 + 0.5*x, 2)*(0.8 - 0.1*x)):(-3))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-27, 27]], "scale": [30.0, 3.7037037037037037], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 6.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 18.3333333333333 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= -3.0))?(30.3697916666667 + 0.078125*Math.pow(x, 4) + 13.34375*Math.pow(x, 2) + 41.8125*x + 1.72916666666667*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-4.41183333333326 + 5.232*x + 0.0115*Math.pow(x, 4) - 0.158666666666667*Math.pow(x, 3) - 0.0490000000000003*Math.pow(x, 2)):(24.0 - 3*x))))));}", [-5, 5]]]}

Exercice 3 : Tableau de variations de kx², sur [-5; 5]

Établir le tableau de variations de la fonction \(f: x \mapsto 4x^{2}\), sur l'intervalle \(\left[-3; 3\right]\).

Essais restants : 2

Exercice 4 : Tableau de variations de kx², sur [0; 5]

Établir le tableau de variations de la fonction \(f: x \mapsto -3x^{2}\), sur l'intervalle \(\left[0; 3\right]\).

Essais restants : 2

Exercice 5 : Trouver la tangente à la courbe représentative d'un polynôme de degré 2 en un point

Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = 5x^{2} + 2x + 8 \) au point d'abscisse \( 5 \).

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